Die Mathematik des Coronavirus

Gastbeitrag von Prof. Dr. Thilo Gross

Professor Dr. Thilo Gross beschäftigt sich mit mathematischen Modellen und der Dynamik von Epidemien in anpassungsfähigen Netzwerken. In diesem Gastbeitrag betrachtet er die Berechnung der Coronavirus-Verbreitung über die Zeit und erklärt die Bedeutung von „social distancing“ und Herdenimmunität aus Sicht der Mathematik.

Die Welt, in der wir leben, wird immer vernetzter und komplexer. Eine Konsequenz ist, dass der Ausbruch einer Krankheit in China das Leben in Deutschland binnen weniger Wochen zum Erliegen bringen kann. Die genaue Ausbreitung des Virus ist hoch kompliziert, aber in jedem komplexen System gibt es einfache Wahrheiten, die wir mit ein wenig einfacher Mathematik verstehen können. Viele Kennzahlen des Virus sind noch nicht genau bestimmt, oder hängen von unbekannten Faktoren ab. Trotzdem wird durch einfache Überlegungen der zugrunde liegende Prozess leicht nachvollziehbar.

Exponentielles Wachstum

Zu Beginn der Epidemie verdoppelte sich die Zahl der Infizierten in Deutschland etwa alle drei Tage. Das heißt, selbst wenn es an einem bestimmten Tag nur 100 Infizierte gäbe, wären es also schon drei Tage später 200, und sechs Tage später 400. Diese Art des Anwachsens wird exponentielles Wachstum genannt.

Auch wenn die Zahlen in unserem Beispiel innerhalb der ersten Tage im Rahmen bleiben, ist exponentielles Wachstum ein sehr schnelles Wachstum. Nach 30 Tagen hätte sich die Zahl der Infizierten 10 Mal verdoppelt, und aus unseren 100 Infizierten sind über 100.000 geworden. Die enorme Geschwindigkeit des exponentiellen Wachstums erklärt, warum wir darauf angewiesen sind, neue Epidemien schnell zu erkennen, und entschieden zu handeln. Eine weitere Konsequenz ist, dass sich der Nutzen von Grenzschließungen schon bald erschöpft, da die Ausbreitung im Landesinneren schnell die Einreise von Infizierten überflügelt.

Grenzen des Wachstums

Exponentielles Wachstum kann nicht unbegrenzt weitergehen. Die meisten der infizierten Personen erholen sich wieder oder andere versterben. Wenn wir der Krankheit einfach freien Lauf ließen, ist aber ein anderer Faktor wichtiger: Schon nach kurzer Zeit ginge dem Virus gesunde Menschen aus, die noch infiziert werden können. Das Virus kann nur fortbestehen, wenn es ihm gelingt, dass jeder Infizierte Mensch im Mittel mindestens eine weitere Person infiziert. Ansonsten gäbe es mit der Zeit immer weniger Infizierte. In der Anfangsphase des Ausbruchs infizierte jede infizierte Person in Deutschland im Mittel drei weitere Menschen. Dies reicht dem Virus nicht nur zum Fortbestand, sondern eben auch zu der oben beschrieben schnellen Verdopplung der Zahl der Infizierten. Wenn die Zahl der Infizierten steigt, verlangsamt dies auch die Verbreitung des Virus. Bei einigen sozialen Kontakten kommt es schon deswegen zu keiner Neuinfektion, weil das entsprechende Gegenüber die Krankheit bereits hat oder hatte.

Wir können uns jetzt überlegen, wie viele Menschen infiziert sein müssen, um die Ausbreitung zum Erliegen zu bringen. Dazu muss die Zahl der Neuinfizierten, die jede infizierte Person verursacht, unter den kritischen Wert von Eins fallen. Da es zu Beginn der Epidemie, wie gesagt, zu drei Neuinfektionen pro infizierter Person kam, muss diese Zahl um zwei Drittel fallen. Das passiert genau zu dem Zeitpunkt, wenn zwei Drittel der Bevölkerung infiziert sind, so dass zwei der drei Infektionen, die eine infizierte Person auslösen könnte, nicht mehr stattfinden, da das Gegenüber bereits infiziert ist.

Zusammengefasst heißt das, ließen wir dem Virus seinen freien Lauf, dann wäre der Höhepunkt der Epidemie erreicht, wenn zwei Drittel der Bevölkerung infiziert sind. Auf diese Weise kann man die auch von der Bundeskanzlerin genannte Zahl von 60 bis 70 Prozent Infizierten leicht selbst herleiten.

Gegenmaßnahmen

Wenn viele Infektionen zur gleichen Zeit auftreten, überlasten sie, wie aktuell in Italien, die Krankenhäuser, und wir müssen mit ähnlich hohen Sterblichkeitsraten von über 6 Prozent rechnen. Wir können verhindern, dass dieses Szenario Wirklichkeit wird, indem wir geeignete Gegenmaßnahmen ergreifen. Ziel dieser Gegenmaßnahmen muss es wiederum sein, die Zahl der Neuinfektionen pro infizierter Person zu reduzieren, so dass der Höhepunkt der Epidemie schon bei einer kleineren Zahl von Infizierten erreicht wird. Dies ist das Ziel des sogenannten “social distancing”. Hier gibt es wiederum eine einfache mathematische Regel: Wenn wir die Kontakte reduzieren, verringert sich im gleichen Maße die Zahl der Neuinfektionen.

Schon eine Reduktion um ein Drittel bedeutet aus Sicht der Mathematik, dass eine infizierte Person ein Drittel weniger Personen ansteckt. Also in der Anfangsphase der Epidemie zwei statt drei Neuinfektionen pro Person. Dies würde bedeuten, dass das Maximum der Epidemie schon erreicht wäre, wenn die Hälfte der Menschen infiziert war. In Deutschland bliebe demnach schon bei einer milden Reduktion um ein Drittel der Kontakte 14 Millionen Menschen die Ansteckung erspart. Auch die Ausbreitungsgeschwindigkeit reduziert sich bei Vermeidung von Kontakten entsprechend. Die Daten aus Italien zeigen, dass sich im Zuge der social-distancing-Maßnahmen die Verdopplungszeit von 3 auf 5 Tage erhöht hat. Diese Verlangsamung der Verdopplungsrate trat mit einer Verzögerung von 6 Tagen ein. Daran können wir sehen, dass neu Infizierte im Mittel sechs Tage brauchen, bevor sie in den offiziellen Zahlen auftauchen. Gelänge es uns, die Kontakte durch social distancing um zwei Drittel zu reduzieren, fiele die Zahl der Neuinfektionen pro Infiziertem sofort unter eins. Für die Epidemie wäre das der Anfang vom Ende.

Das klingt attraktiv. Allerdings kann, solange es noch Infizierte gibt, das exponentielle Wachstum erneut beginnen, sobald wir die social-distancing-Maßnahmen wieder aufheben. Ohne weitere Maßnahmen können wir auf social distancing erst dann verzichten, wenn wiederum zwei Drittel der Bevölkerung infiziert waren. Auf lange Sicht gibt es damit also keine Reduktion der Erkrankungen. Trotzdem ist social distancing wichtig, da wir auf diese Weise das gehäufte Auftreten von vielen schweren Fällen in kurzer Zeit verhindern können, und somit die Überlastung der Krankenhäuser vermeiden. Dies wird “Flattening the curve” genannt.

Eine wichtige Erkenntnis ist, dass wir Kontakte vermeiden sollten, nicht nur um uns selbst zu schützen, sondern auch diejenigen mit denen wir uns treffen. Durch die Verringerung der Gesamtzahl der Kontakte in der Bevölkerung schützen wir auch viele Menschen denen wir nie begegnen.

Superübertragung

Für die Ausbreitung der Epidemie ist die Zahl der Kontakte zwischen Paaren von Menschen relevant. Treffen sich mehr als zwei Leute gleichzeitig, kommt eine entsprechend höhere Zahl von Kontakten zustande. Wenn sich drei Personen A,B und C zum Skat spielen treffen, so heißt dies: A trifft B, B trifft C und A trifft C. Es finden also drei paarweise Kontakte statt. Bei einer Geburtstagsfeier, bei der 20 Personen anwesend sind, trifft jede der 20 Personen die anderen 19, es kommen also 380 Kontakte zustande. Mathematisch können wir sagen, dass die Zahl der Kontakte quadratisch mit der Zahl der Teilnehmer an einer Veranstaltung steigt. Dieser quadratische Anstieg sorgt dafür, dass große Veranstaltungen eine überproportionale Auswirkung haben. Die gleiche Logik lässt sich zwar nicht auf sehr große Veranstaltungen übertragen. Bei einem Fußballspiel mit 50.000 Zuschauern können wir nicht davon ausgehen, dass jeder Kontakt mit den anderen 49.999 hat. Trotzdem kommt bei solchen Großveranstaltungen eine außerordentlich große Zahl von Kontakten zustande. Sie können zu sogenannten “superspreading” Ereignissen werden bei denen das Virus auf sehr viele Menschen übertragen wird. Auch Flugreisen, bei denen sich viele Menschen über längere Zeit nah beieinander befinden, können leicht zu Superspreading Ereignissen werden.

Die Möglichkeit von Superspreading Ereignissen klingt zunächst wie eine schlechte Nachricht. Aber den Boost, den die Krankheit durch solche Ereignisse erhält, ist in der gemessenen Verbreitungsgeschwindigkeit bereits mit eingerechnet. Im Umkehrschluss können wir nun die Verbreitungsgeschwindigkeit durch die Vermeidung von Superspreading erheblich reduzieren. Wer seine Geburtstagsfeier mit 20 Gästen absagt, nimmt dem Virus auf einen Schlag 380 mögliche Verbreitungswege.

Superspreading passiert jedoch nicht nur bei großen Veranstaltungen. Auch Personen, die besonders viele Kontakte haben, können “superspreader” sein. Gerade in der Anfangsphase der Epidemie steigt das Risiko, infiziert zu werden, proportional zur Zahl der Kontakte. Personen mit vielen Kontakten werden also besonders schnell infiziert. Gleichzeitig können aber gerade diese Personen das Virus auch an besonders viele Personen weitergeben. Es ergibt sich wiederum ein quadratischer Effekt. Zum Beispiel hat eine Person, die täglich 50 Kontakte hat, in der Anfangsphase der Epidemie ein 50-fach höheres Risiko, infiziert zu sein, als eine Person, die täglich nur einen Kontakt hat. Zugleich kann die Person mit 50 täglichen Kontakten das Virus an 50 mal mehr Menschen weitergeben. Die Effekte multiplizieren sich. Das bedeutet, die Person mit 50 täglichen Kontakten trägt 2500 mal mehr zur Verbreitung des Virus bei, als die Person mit nur einem täglichen Kontakt.

Testen, Testen, Testen

Am 16. März sagte der Generalsekretär der Weltgesundheitsorganisation WHO in einem Briefing zu COVID-19: “Wir haben eine einfache Nachricht an alle Länder: Test, Test, Test.” Diese Tests sind nicht nur wichtig, um die aktuelle Ausbreitung weiter zu verfolgen, sie erlauben uns auch, die Epidemie auf eine andere Art anzugreifen.

“Social distancing” versucht, die Ausbreitungsrate zu reduzieren, indem die allgemeine Kontaktrate in der Bevölkerung reduziert wird. Eine direktere Strategie ist es, genau die Kontakte zu vermeiden, bei der eine Übertragung der Krankheit am wahrscheinlichsten ist, nämlich die zwischen infizierten und gesunden Personen. Wenn wir wissen, wer infiziert ist, können wir diese Personen isolieren, und damit eine weitere Verbreitung der Krankheit vermeiden. Hier gilt wieder unsere einfache Regel: Wenn es uns gelingt, die Infizierten schnell genug zu isolieren, sodass jeder Infizierte im Mittel weniger als eine weitere Person anstecken kann, dann können wir die Epidemie vorzeitig beenden.

Die Infizierten schnell genug zu erkennen und zu isolieren ist schwierig, da eine mit dem Coronavirus infizierte Person schon Tage vor den ersten Symptomen weitere Personen anstecken kann. Haben wir jedoch eine infizierte Person gefunden, können wir ihre Kontakte verfolgen und isolieren. Wiederum gilt: Wenn wir im Mittel zwei Drittel der Kontakte aufspüren und isolieren können, bevor sie selbst infektiös werden, so reicht dies, um die Epidemie zu beenden.

Das gleiche gilt übrigens auch, wenn eine Impfung für das Coronavirus verfügbar werden sollte. Es reicht, etwa zwei Drittel der Menschen zu impfen, um die Ausbreitung des Virus zu stoppen. Wenn wir die Impfungen zunächst auf Menschen konzentrieren, die besonders viele Kontakte haben, dann reicht sogar eine etwas geringere Impfrate. In diesem Fall ist es genug, so viele Menschen zu impfen, dass zwei Drittel der sozialen Kontakte mit einem Geimpften erfolgen. Ist der geimpfte Teil der Bevölkerung groß genug, kann sich die Epidemie nicht mehr ausbreiten und somit auch die Ungeimpften nicht mehr befallen. Diese profitieren dann von der sogenannten Herdenimmunität. Somit kann die Impfung auch Menschen schützen, die aufgrund ihres Alters oder wegen Vorerkrankungen nicht selbst geimpft werden können.

Vorhersage menschlichen Verhaltens

Das Beispiel der Epidemien zeigt: Selbst in unserer immer komplexeren Welt lassen sich einige Phänomene mit ein wenig einfacher Mathematik erklären. Um sich grundlegende Gegebenheiten wie zum Beispiel die zu erwartende Zahl von Infizierten selbst herzuleiten, muss man kein Virologe sein. Es reicht, die Grundrechenarten zu beherrschen und ein einfaches Konzept zu verstehen: “Das Virus verbreitet sich weiter, solange ein Infizierter im Mittel mehr als eine Person infiziert”.

Dass Epidemien in ihren Grundzügen so einfach zu verstehen sind, liegt zum einen daran, dass die Verbreitung von Mensch zu Mensch erfolgt, und damit auf einer Skala die uns intuitiv zugänglich ist. Zum anderen benötigt man für ein Verständnis der Ausbreitung nur wenige Kennzahlen, etwa die Verdopplungszeit. Wenn wir diese kennen, müssen wir zur Vorhersage der Zahl der Infizierten die komplexen biologischen Details des Virus erst einmal nicht verstehen.

Dass die Vorhersage der zukünftigen Zahl von Infizierten dennoch schwierig bleibt, liegt nicht so sehr an der Epidemie selbst, sondern an der komplexen Reaktion der Menschen und der Politik auf die Epidemie. Es ist einfach vorherzusagen, wie sich die Epidemie verbreiten würde, wenn wir keine Gegenmaßnahmen ergreifen würden. Sehr viel schwerer ist vorherzusehen, welche Gegenmaßnahmen wir zu ergreifen bereit sind.

Die Welt ist kleiner als je zuvor

Letztendlich kann sich jede Epidemie nur so schnell verbreiten, wie Menschen sie weitertragen können. Im Mittelalter konnten sich Krankheiten nur mit der Geschwindigkeit eines Fußgängers, eines Reiters oder eines Segelschiffes verbreiten. Deshalb breitete sich beispielsweise die Pest im Mittelalter als Wellen über Europa aus. Obwohl der Verlust an Menschenleben trotzdem immens war, hat diese wellenartige Ausbreitung Vorteile. Nur in den akut betroffenen Regionen gibt es eine hohe Zahl von Erkrankten. Vor der Welle geht das Leben gewohnt weiter, während sich die Gebiete hinter der Welle schon von der Krankheit erholen.

In der heutigen Welt können sich Infektionskrankheiten mit der Geschwindigkeit von Verkehrsflugzeugen verbreiten, und erreichen so schnell die ganze Welt. Epidemiewellen gibt es daher kaum noch. Stattdessen kann es zu globalen Pandemien kommen, die in allen Ländern der Welt fast zeitgleich ablaufen. Selbst, wenn wir den Flugverkehr auf einen Bruchteil seines heutigen Volumens zurückfahren würden, blieben uns solche Pandemien nicht erspart. Die Netzwerkforschung zeigt: Schon die Existenz sehr weniger Langstreckenverbindungen reicht aus, um die Welt dicht genug zu verknüpfen, damit sich Infektionskrankheiten schnell global verbreiten können.

Einen kleinen Lichtblick gibt es jedoch: Durch die stärkere Verknüpfung wird der Verlauf von Pandemien vorhersagbarer. Wir können allein schon deshalb ihren Verlauf besser denn je vorhersagen, verschiedene Szenarien betrachten, und wenn der gesellschaftliche Wille dazu besteht, im Prinzip frühzeitig Gegenmaßnahmen ergreifen.

Auf lange Sicht

Auch wenn uns das Coronavirus wie ein einmaliges Ereignis vorkommen mag, es ist weder die erste große Epidemie, noch die schwerste. Im Mittelalter tötete die Pest etwa 50 Prozent der Europäischen Bevölkerung, und zwischen 1918 und 1920 forderte die Spanische Grippe etwa 50 Millionen Todesopfer. Viele Leser_innen dieses Artikels sind vermutlich in einer Zeit aufgewachsen, in der geglaubt wurde, Epidemien gehören der Vergangenheit an. Dann kam die AIDS Epidemie, Legionellose, Ebola, SARS und MERS. Diese Ausbrüche von neuen Krankheiten zeigen, dass in einer immer dichter verknüpften Welt Epidemien wieder zur Tagesordnung gehören.

Wie Arno Karlen in seinem Buch “Man and Microbes” darlegt, trägt auch die immer schnellere Umweltveränderung dazu bei, dass Menschen immer häufiger mit neuen Krankheitserregern in Kontakt kommen. Wir können davon ausgehen, dass sich diese Faktoren in der Zukunft noch verstärken. Auch das Coronavirus wird die Globalisierung nicht dauerhaft aufhalten, so dass wir auf lange Sicht weiterhin in einer kleinen, hoch-komplexen, und dicht-vernetzten Welt leben werden, in der ein lokaler Ausbruch einer Krankheit schnell zu einem globalen Problem wird.

Was wir verbessern können, ist unsere Reaktion auf solche Ausbrüche. In jedem komplexen System gibt es einfache Regeln. Im Vergleich zum Mittelalter, und selbst in Vergleich zu den 20er Jahren, haben wir heute ein sehr viel besseres Verständnis der Epidemieausbreitung. Insbesondere das Verständnis der Mathematik komplexer Netzwerke hat die Verläufe von Epidemien vorhersehbar gemacht. Zum Beispiel in Masern-Epidemien steckt jeder Infizierte in der Anfangsphase etwa 15 weitere Personen an. Dementsprechend müssen 14/15 also etwa 93 Prozent der Bevölkerung geimpft sein, um ein Ausbrechen der Epidemie zu verhindern. In den vergangenen Jahren ist die tatsächliche Impfdichte immer weiter zurückgegangen, und nähert sich nun dieser kritischen Marke. Wenn wir es nicht schaffen, über diesem Wert zu bleiben, steht eine weitere Epidemie bevor.

Mit Hilfe der Mathematik komplexer Netzwerke lassen sich Epidemien immer genauer verstehen. Die international teilweise sehr zögerliche Reaktion auf COVID-19 zeigt aber, dass wir in großen Teilen noch lernen müssen, diesen neuen Erkenntnissen zu trauen und entsprechend zu handeln. Letztendlich können ganz ähnliche mathematische Modelle wie die der Ausbreitung der Epidemie auch genutzt werden, um andere Probleme, die sich über Netzwerke ausbreiten, zu verstehen und vorherzusagen. Hierzu zählen zum Beispiel die Verbreitung von Gerüchten und Desinformation, oder Finanzkrisen. Aufgrund der sehr ähnlichen Mechanismen und Strukturen bleibt zu hoffen, dass wir aus dem Kampf gegen das Coronavirus Lehren ziehen können, die uns auch bei diesen, ebenfalls sehr schwerwiegenden, Problemen helfen.

Über den Gastautor

Das war ein Gastbeitrag von Prof. Dr. Thilo Gross auf unserem WissenschaftsBlog ForschungsNotizen. Der in Oldenburg studierte Forscher hält seit Januar dieses Jahres die gemeinsame Professur für Biodiversity Theory des Instituts für Chemie und Biologie des Meeres (ICBM) der Universität Oldenburg und des Bremerhavener Alfred-Wegener-Instituts, Helmholtz-Zentrum für Polar- und Meeresforschung (AWI). In seiner Forschung beschäftigt sich Thilo Gross mit mathematischen Methoden und Modellen, um komplexe, sich verändernde Ökosysteme oder soziale Strukturen besser verstehen zu können. Seine Arbeit “Epidemic dynamics on an adaptive network” (American Physical Society, 2006), die er zusammen mit Carlos Dommar und Bernd Blasius verfasst hat, zählt zu den grundlegenden Arbeiten zu social distancing und wird von Google als “Classic in Nonlinear Science” gelistet, diese Auszeichnung erhalten weltweit nur 10 Arbeiten pro Jahr.